ก่อนที่จะเรียนเรื่องการ เคลื่อนที่แบบวงกลม จะอธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องให้ผู้เรียนได้ทำความเข้าใจก่อน ซึ่งปริมาณที่เกี่ยวข้องประกอบด้วย คาบเวลา , ความถี่ , ความเร็วเชิงเส้น , ความเร็วเชิงมุม , ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่กับคาบเวลา, ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นกับความเร็วเชิงมุม, ความเร่งสู่ศูนย์กลาง, แรงสู่ศูนย์กลาง, หลังจากนั้นผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับลักษณะของการเคลื่อนที่แบบวงกลม เช่น การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวดิ่ง, การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ, การเคลื่อนที่เป็นวงกลมแบบกรวยกลม, การเลี้ยวโค้ง, การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์และ การเคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้าในสนามแม่เหล็ก (ภาพตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบวงกลม)

             ………………………………………
             …………………………………………
      
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่
1.คาบ (Period) "T" คือ เวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หน่วยเป็นวินาที่/รอบ หรือวินาที
2.ความถี่ (Frequency) "f" คือ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ภายในเวลา 1 วินาที หน่วยเป็นรอบ/วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
          เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ คาบ และความถี่จะมีค่าคง
ที่ โดยคาบและความถี่สัมพันธ์กันโดย


จาก รูปที่ 1 วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบจุด O มีรัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ
(T=1/f)
              ………………………………………
             อัตราเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของ เส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)
           แต่ในที่นี้ยังมีอัตราเร็วอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมที่จุดศูนย์กลาง เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วินาที เรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม (w) อ่านว่า โอเมก้า
นิยามอัตราเชิงมุม (w) คือ มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 วินาทีมีหน่วยเป็น เรเดียน/วินาที
การบอกมุมนอกจากจะมีหน่วยเป็นองศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเป็นเรเดียน (radian) โดยมีนิยามว่า มุม 1 เรเดียน มีค่าเท่ากับมุมที่จุดศุนย์กลางของวงกลม ซึ่งมีเส้นโค้งรองรับมุมยาวเท่ากับรัศมี หรือกล่าวได้ว่ามุมในหน่วยเรเดียน คือ อัตราส่วนระหว่างส่วนเส้นโค้งที่รองรับมุมกับรัศมีของวงกลม
           ถ้า a คือ ความยาวองส่วนโค้งที่รองรับมุม
           r   คือ รัศมีของส่วนโค้ง
          q  คือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นเรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในหน่วยองศากับเรเดียน
           เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 360 องศา โดยส่วนโค้งที่รองรับมุมก็คือเส้นรอบวงนั้นเอง

ดังนั้น สรุปได้ว่า มุม 360 องศา เทียบเท่ากับมุม 2p เรเดียน
เมื่อพิจารณาวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ครบ 1 รอบพอดี

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v) และอัตราเร็วเชิงมุม (w)


 
         พิจารณาลูกกลมโลหะ ซึ่งเคลื่อนที่ตามรางเรียบรูปวงกลมในแนวดิ่ง   โดยเคลื่อนที่รอบด้านในของวงกลม เส้นทางการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะจะเป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง ทุก ๆ ตำแหน่งที่ลูกกลมโลหะจะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทางความเร็วของลูกกลมโลหะ ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางนี้เกิดจากรางออกแรงดันลูกกลมโลหะ ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของรางที่โต้ตอบกับแรงที่ลูกกลมโลหะออกแรงดันราง และแรงสู่ศูนย์กลางบางช่วงจะมาจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกกลมโลหะ
ในกรณีลูกกลมโลหะมวล m อยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางที่มีรัศมีความโค้ง r  ให้แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของรางเท่ากับ F และแรงที่โลกดึงดูดลูกกลม คือ mg แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองคือ แรงสู่ศูนย์กลาง


 
              ~ ถ้าลูกกลมอยู่ ณ ตำแหน่งสูงสุด จะได้


เชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ v และเชื่อกทำมุม q กับแนวระดับดังรูป

         ขณะมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือกและน้ำหนังของวัตถุ
เมื่อแตกแรงต่าง ๆ แล้วจะได้
                 

                      เมื่อพิจารณาในเเนวดิ่ง

                    เมื่อพิจารณาในเเนวราบ วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม
                    หรือเราอาจนำสมการทั้ง2สมการมาสัมพันธ์กันได้

          ขณะเลี้ยวรถแรงกระทำต่อรถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกันได้ เป็นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้เกิดโมเมนต์ ทำให้รถคว่ำขณะเลี้ยวดังรูป ถ้าไม่ต้องการให้รถคว่ำต้องเอียงรถ ให้จุดศูนย์กลางของมวล ผ่านแนวแรง R ขณะเลี้ยว รถจึงเลี้ยวได้โดยปลอดภัยไม่พลิกคว่ำดังรูป

รูปแสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยวบนถนนโค้งราบ
              ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็วสูงสุด พบว่า

      ไม่ว่ารถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งแล้วเอียงรถ หรือ รถจักรยานยนต ์เลี้ยว โค้งบนพื้นเอียงลื่น มุม q ที่เกิดจากการเอียงของทั้งสองกรณีคือมุมเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกันคือ

ตัวอย่างที่  1   โลกจะต้องหมุนด้วยอัตราเร็วเท่าใด เพื่อให้ความเร่งสู่ศูนย์กลางวัตถุที่อยู่บนพื้นโลกเป็น 30 cm/s²  เมื่อรัศมีโลก 6.378  x 10⁸  m

 

 

ตัวอย่างที่  2   วัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี 2 เมตร  ด้วยอัตราเร็วคงที่มีคาบการหมุน  12 วินาที/รอบ  จงหาแรงสู่ศูนย์กลางของวัตถุ  และการกระจัดเมื่อเวลาผ่านไป  3 วินาที

 

 

ตัวอย่างที่ 3   วัตถุมวล  m₁  และ   m₂    ผูกกับเชือกโดยมี   m₁ ผูกที่จุดกึ่งกลางเชือก  m₂  ผูกที่ปลายเชือก  โดยปลายอีกข้างหนึ่งยึดอยู่ตรงใจกลางโต๊ะ  ถ้าวัตถุทั้งสองเคลื่อนเป็นวงกลมอยู่บนโต๊ะราบลื่น  โดยเชือกตึงเป็นเส้นตรงเดียวกัน และปลายเชือกที่ยึดอยู่ในกลางโต๊ะเป็นศูนย์กลางของวงกลม   ถ้า m₁ : m₂ = 4 : 3  จงเปรียบเทียบแรงตึงในเชือกที่ผูก  m₁  และ m₂

ตัวอย่างที่  4   โต๊ะสี่เหลี่ยมมีพื้นราบเรียบ มีวัตถุ A มวล 0.4 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีรัศมี 30 cm.  อยู่ได้โดยมีเชือกผูกวัตถุนี้ไปสอดผ่านรูลื่นตรงกลางโต๊ะ  โดยปลายเชือกผูกกับวัสดุ  B  มวล 0.3 กิโลกรัม  ห้อยอยู่   จงหา

ก.   อัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุ  A

ข.   อัตราเร็วเขิงมุมของวัตถุ  A

ค.    อัตราเร็วเป็นคาบของวัตถุ  A

ง.    ความถี่ของวัตถุ  A

จ.  ความเร่งของวัตถุ  A

 

ตัวอย่างที่  5   วัตถุ  0.6 กิโลกรัม  ผูกด้วยเชือกยาว 1 เมตร  แล้วแกว่งเป็นวงกลมในระนาบระดับ  ด้วยรัศมี  60 เซนติเมตร  จงหาความตึงในเส้นเชือกและอัตราเร็วของวัตถุ

ตัวอย่างที่  6   โต๊ะสี่เหลี่ยมราบผิวขรุขระ  มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน = 0.5  มีมวล 4 กิโลกรัม  วางอยู่  จากมวลผูกเชือกดึงสอดผ่านรูกลางโต๊ะผูกมวล 1 กิโลกรัม ห้อยอยู่ในแนวดิ่ง เชือกใต้โต๊ะยาว 50 เซนติเมตร  จงหาว่าจะต้องแกว่งมวลใต้โต๊ะด้วยความเร็วสูงสุดเท่าไร  มวลบนโต๊ะยังไม่เคลื่อนที่

ตัวอย่างที่  7   มวล m ผูกด้วยเชือกยาว  l เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็ว v คงที่ โดยเชือกเคลื่อนที่เป็นรูปกรวยและทำมุม  q  กับแนวดิ่ง  จงหาว่าเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ 1 รอบ  เป็น